Перетворення Галілея

Перетворення Галілея 
та механічний принцип відносності

Галілео Галілей (1564 - 1642)

 

Розглянемо дві системи відліку (СВ): інерціальна система відліку XYZ, яка є нерухомою, та рухому інерціальну систему відліку X’Y’Z’ , котра рухається поступально зі швидкістю u' вздовж осі ОX. Нехай точки О, О’ в момент часу t₀ = 0 співпадають.

Положення довільної точки М в рухомій та нерухомій СВ визначаються відповідно:

 К (XYZ):      М(x,y,z)          К'(X'Y'Z'):  M'(x',y',z').

Перетворення координат між СВ К та К’

x = x'+ ut

y = y'

z = z'

називаються перетвореннями Галілея.

Якщо в системі К знаходиться лінійка АВ, довжини l = x₂ – x₁, то в рухомій системі К’ її довжина відповідно дорівнює:

  l' = x₂' – x₁' = ( x₂ – ut) – ( x₁ – ut ) = x₂ – x₁ = l

Сукупність перетворень Галілея слід доповнити ще одним рівнянням, котре не завжди записують, однак воно має велике значення і глибокий зміст:

t = t'

В класичній (ньютонівській) механіці приймається, що хід часу не залежить від відносного руху систем відліку, тобто він є однаковим у всіх інерціальних системах відліку ( системах, котрі рухаються рівномірно і поступально одна відносно іншої).

Нехай точка М(x',y',z') в системі К' рухається зі швидкістю v вздовж осі Ох. За час Δt вона здійснить переміщення S₁, а сама система К' переміститься відносно К на вектор переміщення S₂. Загальне переміщення S в абсолютній системі координат:

S = S₁ + S₂

Поділивши останнє співвідношення на час Δt отримаємо класичний закон додавання швидкостей

v= v₁ + v₂

Вперше його отримав Галілей в 1638 році.

Сутність перетворень Галілея полягає в тому, що якщо ми маємо інерціальну систему відліку К , то довільна система К’, котра рухається відносно К прямолінійно та рівномірно, буде також інерціальною.

А саме для інерціальних систем справедливим є механічний принцип відносності:

У всіх ІСВ всі механічні явища протікають однаково.

Вперше його сформулював Г.Галілей у 1590 році, і він виконується в рамках класичної механіки.

[При переході до механіки великих швидкостей – релятивістської механіки – перетворення Галілея не виконуються. Правильними будуть перетворення Лоренца ( перетворення Галілея є граничним випадком перетворень Лоренца при v<< c).

І релятивістський закон додавання швидкостей набуває вигляду

Відзначу, що довжина відрізка АВ в рухомій СВ змінить свою величину, як і проміжок часу між двома подіями – час в різних ІСВ протікає по-різному. Саме цей висновок надає нам теоретичну можливість переміщуватись у часі.]

 В основному тексті жирнішим шрифтом виділено векторні величини.