Математика


Вміло використовуємо математику при розв’язуванні задач з фізики



При розв’язуванні багатьох задач з фізики з метою швидшого отримання кінцевого результату слід використовувати найпростіші формули наближених розрахунків. Ці формули базуються на наступному твердженні:

для довільних дійсних чисел к та дійсних х, що │х│< 1 справедливою є рівність:  
(1 + x)к = 1 + k∙x/1 + k(k – 1)∙x2/1·2 + ∙∙∙


У випадку, коли │х│‹ 1, а к є порядку одиниці, то в безмежній сумі можна обмежитись лише двома першими складовими, тобто знехтувати доданками, котрі містять х2, х3, …, як безмежно малими величинами.

Тоді
(1 + х)к ≈ 1 + кх , при х << 1.



Справедливими є наступні формули наближених розрахунків:

(1 + х)2 ≈ 1 + 2х
(1 – х)2 ≈ 1 – 2х
(1 + х)-1 ≈ 1 – х
(1 – х)-1 ≈ 1 + х
(1 + х)1/2 ≈ 1 + х/2
(1 – х)1/2 ≈ 1 – х/2
е  ≈ 1 + х
е  ≈ 1 – х
ln(1 + x) ≈ +x
ln(1 – x) ≈ -x
                             sinx ≈ tgx ≈ x,          х < 0,077 рад (4,4º)
cosx ≈ 1 – x2/2


Розрахунок за даними формулами дає наближений результат, відмінний від точного лише на 0,1%.

Приклад:
Обчислити з наближенням, якщо │а│<< А.

(А + а)/(А – а) = (1 + а/А)/(1 – а/А) ≈ 
 ≈ (1 + а/А)(1 + а/А) = (1 + а/А)2 ≈ 1 + 2а/А.


Якщо, наприклад, А = 100, а = 1, то (А + а)/(А – а)  ≈ 1,02, а точно (А + а)/(А – а) = 1,020202… 





Доцільно прочитати




               Математика для фізиків                  







 





Логармфми 
(основні формули для астрономів)



Розв'язуючи задачі та вправи з фізики та, особливо, з астрономії неможливо обійтись без логарифмів. Основні їх властивості перераховано нижче.


Означення:
LogaN = x        ax = N 
Логарифмічні функції (графіки)

Десятковий логарифм:
Log10N lgN = x        10x = N 
Натуральний логарифм:
LogaN lnN = x        ex = N 
Основна тотожність логарифмів:
alogab = b,       b>0

Логарифмічні функції (графіки)









Властивості логарифмів:

  • logaa = 1
  • loga1 = 0
  • loga(b · c) = logab + logac
  • loga(b ⁄ c) = logab - logac
  • logaxp = p · logax
  • logax = logbx ⁄ logba  (формула переходу до нової основи)
  • logab = 1 ⁄ logba
  • logab = logapbp = p · logapb
  • alogab = b
  • logca · logab = logcb
  • logaα bβ = (β⁄α) · logab
  • alogcb = blogca
  • logaα b = logab ⁄ logaaα = (1 ⁄ α) · logab
  • logcalogcb = logcblogca
  • logcb · logca = logca · logcb

Увага: log(a+b) ≠ log a + log b

Примітка:     e = limn→∞(1 + 1/n)n = e








Варто знати
  



Префікси частинних та кратних одиниць




Приставки ВЕЛИКИХ чисел