Дві задачі на механічні коливання
Розглянемо задачу, котра поєднує закони Ньютона, Землю та механічні коливання.
Задача 1. Визначити час польоту каменя від одного полюса Землі до другого по прямому тунелю, проритому через її центр. Густина Землі постійна, радіус дорівнює 6370 км.
Р о з в ’ я з о к.
Тіло в тунелі буде здійснювати гармонічні коливання навколо положення рівноваги, яким є центр Землі. (точка О, мал.1).
 мал. 1 |
Опором повітря нехтуємо, тіло точкове. Для положення 1 напишемо рівняння руху:
F = ma (1)
Але
Враховуючи останнє, із співвідношення (1) отримаємо:
a = 4πγρx/3 (2)
Ознака гармонічних коливань твердить, що при гармонічних коливаннях прискорення а пропорційне зміщенню х, взятому з протилежним знаком.
Коефіцієнтом пропорційності є кругова частота ω в квадраті:
а = - ω2х (3)
Співставляючи співвідношення (2) та (3) знаходимо:
При перетвореннях враховано співвідношення між періодом коливання та круговою частотою
T = 2π/ω.
Невідоме значення густини Землі шукатимемо із закону всесвітнього тяжіння.
Звідки
Тому період коливань тіла дорівнюватиме:
Відповідно час руху тіла від одного полюса до іншого
t = T/2 = 42 хв.
При розрахунках прийнято, Rз=6370 км, а прискорення вільного падіння g=9,81 м/c2.
При умові створення такого тунелю, ми могли б переміщувати об'єкти з однієї точки земної кулі в протилежну, за час 42 хвилини, не витрачаючи при цьому палива. За допомогою такого тунелю економніше було би запускати космічні кораблі.
Задача 2. В землі прорито тунель, котрий не проходить через її центр. Визначити час руху поїзда з виключеним двигуном по такому тунелю, якщо впливом обертання Землі на рух поїзда та тертям знехтувати.
Р о з в ’ я зо к.
В тунелі (мал. 2), при відсутності сил тертя, тіло буде здійснювати гармонічні коливання навколо точки О'.
 |
| мал.2 |
Запишемо для положення 1 рівняння руху:
FR = ma
В проекції на напрям прискорення останнє рівняння набуде вигляду
Але
Враховуючи, що
Тоді рівняння руху
a = - g x/Rз
Останнє співвідношення є ознакою гармонічних коливань, тому період коливання тіла в такому тунелі визначається наступною формулою:
Відповідно час руху від одного кінця тунелю до іншого
t = T/2 = 42 хв.
Звертає увагу той факт, що розвязуючи принципово іншу задачу, ми отримали аналогічну відповідь. Можемо зробитм висновок, що проривши довільний тунель і запустивши у нього тіло, котре має змогу рухатись без тертя, ми отримаємо наступне:
час руху між довільними точками на поверхні Землі по тунелю, котрий їх зєднує, завжди однаковий, і дорівнює 42хв.
В процесі такого переміщення, ми не витрачаємо пального. Отож подорож зі Львова до Києва, Чикаго, Ванкувера чи Сіднея займала б усього 42 хвилини, якщо б наша цивілізація не займалась би політикою, а намагалась втілювати в життя досягнення науки, досягнення в ім'я людини та для покращення життя людини.
