Метод розмірностей

Один із методів розв'язку задач 

  засвоюємо вивчене

Оптична гра системи математичних маятників

Продовження; початок тут

Познайомимось з методом, котрий існує з часів великого Ньютона. Найчастіше його використовують при перевірці правильності отриманих формул, значно рідше – при розв’язку конкретних задач і отриманні певної функційної залежності.

Минаючи певні математичні особливості обгрунтування цього методу сформулюю коротко його сутність:

Нехай  розмірна фізична величина f  залежить від інших розмірних величин A, B, C, D…, тоді формула зв’язку всіх цих величин може мати лише такий вигляд:

  f =  k A^αB^βC^γD^δ…

В останньому співвідношенні к – певна невідома константа, яку неможливо визначити точно за допомогою цього методу. Показники степені α,β,γ,δ… обчислюються з умови тотожності розмірностей правої і лівої частини співвідношення.

ЗАДАЧА: Отримати методом розмірностей формулу періоду коливань математичного маятника.

        
Із експерименту відомо, що період коливання математичного маятника може залежати від довжини нитки, маси тягарця, прискорення вільного падіння і, тому,

T = k•l^αg^βm^γ

[ T ] = [ l^αg^βm^γ ]

c¹ = м^αм^βс^-2βкг^γ

З останнього співвідношення з умови тотожності розмірностей обох частин отримаємо систему з трьох алгебраїчних рівнянь для знаходження показників степенів

1 = -2β

0 = α + β

0 = γ

Розв’язок системи наступний: β = ½, α = ½, γ = 0. Враховуючи це, формула періоду коливань набуває наступного вигляду

T = k•l^1/2g^-1/2m⁰

Остання формула вказує на те, що період коливань математичного маятника не залежить від маси вантажа. Невідомою залишається константа к, яку слід шукати експериментально (вона дорівнює  к = 2π). Тоді шукана формула набуває вигляду

T = 2π(l/g)^1/2

ЗАДАЧА (самостійно). Визначіть період обертання планети навколо своєї осі, якщо її маса М, радіус R і гравітаційна постійна γ.

( Відповідь: T = 2π(R³/γМ)^1/2 )

ЗАДАЧА (самостійно). Визначіть методом розмірностей формулу кінетичної енергії тіла, якщо К = ½ f(m,v).