вівторок, 24 грудня 2019 р.

Вектор

Варто знати   (повторити)  ...

Вектор — це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком.
Під направленим відрізком AB розуміють впорядковану пару точок, перша з яких — точка A — називається його початком, а друга — B — його кінцем. В геометрії розглядають вектори, що не залежать від точки прикладання (вільні вектори).


Вектори позначають двома способами:

  • малими буквами латинського алфавіту (наприклад, a⃗ );
  • двома великими буквами латинського алфавіту (наприклад, AB), де перша буква — початок вектора, а друга — кінець.

Графічно вектори зображають у вигляді направлених відрізків певної довжини AB.


Рис. 1. Вектор AB  з початком в  A            і кінцем в B

Поняття вектора з'явилося в роботах німецького математика XIX ст. Г. Грассмана та ірландського математика У. Гамільтона. Згодом воно було охоче сприйняте багатьма математиками і фізиками. В сучасній математиці це поняття відіграє дуже важливу роль.
Чисельне значення a⃗    називається модулем чи довжиною і позначається |a⃗ |. Довжина вектора — це довжина відрізка, що зображає цей вектор.
Вектори AB і CD називають протилежно напрямленими, якщо протилежно напрямлені півпрямі AB і CD.
Вектори AB і CD називають співнапрямленими, якщо співнапрямлені півпрямі AB і CD.

Рис.2. Протилежно напрямлені вектори.
Рис. 2. Протилежно напрямлені вектори
Рис.3. Співнапрямлені вектори.
Рис. 3. Співнапрямлені вектори

Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим і позначається 0⃗ . Нульовий вектор має довжину 0. Напрям нульового вектора не визначений. Нульовий вектор прийнято рахувати співнапрямленим з будь-яким вектором. Вважається, що нульовий вектор одночасно паралельний і перпендикулярний будь-якому вектору.
Колінеарними називаються вектори, які зображаються відрізками, що лежать на одній прямій чи на паралельних прямих.
Два вектора називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються.
Одиничний вектор (орт) — вектор, довжина якого рівна одиниці.

 

Вектори на площині



Числа

ax=x2x1,ay=y2y1

називаються координатами вектора a⃗  з початком A(x1;y1)    і кінцем   B(x2;y2).
Примітка 1. Всі координати нульового вектора дорівнюють нулю.
Примітка 2. Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні.

Вектор з координатами ax і ay позначається

(ax;ay).
Вектор a з координатами ax і ay позначається

a⃗ (ax;ay).
Використовуючи означення координат вектора довжину можна записати формулою

|a⃗ |=a2x+a2y.

 


Дії над векторами на площині



Сумою векторів  a⃗ (ax;ay)    і     b⃗ (bx;by)   називають вектор

c⃗ (ax+bx;ay+by).

Геометрично суму двох векторів можна знайти за:
  • правилом трикутника;
  • правилом паралелограма.


Правило трикутника


Для складання двох векторів a⃗  і b⃗  за правилом трикутника обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб початок одного з них збігався з кінцем іншого. Тоді вектор суми задається третьою стороною трикутника, що утворився, причому його початок збігається з початком першого вектора.
Рис.4. Правило трикутника.
Рис. 4. Правило трикутника.


Правило паралелограма


Для додавання двох векторів a⃗  і b⃗  за правилом паралелограма обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися. Тоді вектор суми задається діагоналлю побудованого на них паралелограма, яка виходить з їх спільного початку.
Рис.5. Правило паралелограма.
Рис. 5. Правило паралелограма




Різницею векторів 
a⃗  і b⃗   називають такий вектор c⃗ , який в сумі з b⃗  дає a⃗ .
Рис.6. Різниця векторів.
Рис. 6. Різниця векторів


Добуток вектора

(ax;ay).
на число λ називається вектор

(λax;λay).

Два вектори a⃗  і b⃗          колінеарні тоді і лише тоді, коли їх відповідні координати пропорційні

axbx=ayby.

Скалярним добутком векторів   a⃗  і b⃗  

називається число, яке рівне сумі добутків відповідних координат, тобто

a⃗ b⃗ =axbx+ayby.

Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними, тобто

a⃗ b⃗ =|a⃗ ||b⃗ |cos(a⃗ ;b⃗ ^).
де (a⃗ ;b⃗ ^) — кут між векторами a⃗  і b⃗ .